第一章

• 复数
  • 辐角
    • 平面中，只有原点的辐角，是不定的。
    • Argz是一堆角而argz则是对应的辐角主值
  • 三角表示
  • 指数表示（欧拉公式）
    • $z=r{e}^{i\theta }=|z|e^{iArgz}$
  • 乘幂和方根
    • $z^n=r^n(cosn\theta +isinn\theta )$
    • r=1时，特别有棣莫弗公式
      • 单位1的k次根
        • $w_k=r^{\frac{1}{n}}[cos\frac{i}{n}(argz+2k\pi )+i\sin \frac{1}{n}(argz+2k\pi )]$
  • 共轭
    • $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2=|z^2|$
    • 复数的和差积商共轭前后不变
  • 球极射影
    • 
    • $P^{\prime }\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{所}\mathrm{得}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{复}\mathrm{数}$

复变函数

平面点集

• 点
• 区域
• 连续和光滑曲线
• 简单曲线（没有重点的曲线，即不相交）
• 单和多连通区域

复变函数

• 定义：
  • 函数的定义+复数，即复变函数
  • 有两个自变量（实部和虚部）
• 映射：
  • 函数—从一个点集映射到另一个点集
  • 函数$w=z^2$的映射
    • 把$u=x^2-y^2$和$v=2xy$,两个等轴双曲线映射为w平面上的两族平行直线
    • 
    • 当$x=\lambda$时，u，v构成的参数方程为$v^2=4{\lambda }^2({\lambda }^2-u)$为抛物线，且焦点为原点

复变函数的极限和连续性

• 概念：
  • 距离：复数的模
  • 极限：$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=a$,${\mathrm{\forall }}_0<|z-z_0|<\delta ,|f(z)-a|<\epsilon$
  • 复变的极限等同价于二元实变函数的极限
  • 连续：和一元实变函数差不多